Die Grundbedeutung von acertar ist treffen, finden, gelingen. Teilweise überlappt es sich also mit lograr, also in der Bedeutung von gelingen, von dem es sich jedoch, zumindest was die Verbalperiphrase anbelangt, subtil unterscheidet. Acertar wird oft benutzt, wenn zwar etwas erreicht wurde, aber dies rein zufällig geschah und auch nicht das erreicht wurde, was eigentlich erreicht werden sollte. Lo único que acerté a hacer fue orar. ~Das Einzige was ich erreichte zu tun war beten. Ich konnte nur noch beten. Er hat zwar etwas erreicht, nämlich beten, aber das war nicht das Ziel, das er eigentlich anstrebte, es war lediglich die letzte verbleibende Alternative. Lo único que acerté a hacer fue mandarle un mensaje. ~Das Einzige was ich erreichte, war ihm eine Nachricht zu schicken. Ich schaffte es gerade noch ihm eine Nachricht zu schicken. Auch hier war das Versenden der Botschaft nicht das Ziel. Das Ziel wurde nicht bewusst angestrebt, es war lediglich die einzig verbleibende Alternative. Zumindest theoretisch besteht also ein Unterschied zwischen "lograr + infinitivo" und "acertar + a + infinitivo". "Lograr + a + infinitivo" wird verwendet, wenn ein Ziel bewusst angesteuert und verwirklicht wird. Das Ziel als solches muss sinnvoll und erstrebenswert und nicht lediglich dem Mangel an Alternativen geschuldet sein. Logramos reparar pequeños daños en 24 horas. Kleinere Schäden können wir innerhalb von 24 Stunden reparieren. In diesem Satz wird das eigentliche Ziel, das, welches gezielt verfolgt wird, erreicht. Gut möglich, dass man auch Sätze findet, wo auch in einem Kontext, wo ein klar definiertes Ziel planvoll angestrebt und erreicht wird, Sätze mit "acertar + a + infinitivo" findet, aber zumindest die Real Academia Española stellt bei ihrem Beispiel mit der Verbalperiphrase auf das zufällige, ungeplante Eintreffen ab.

Beispiel
Suceder impensadamente o por casualidad. Acertó a ser viernes aquel día.
Ungeplantes oder zufällige Eintreffen. Jener Tag war ein Freitag.

In der Verneinung allerdings verwischt sich der Unterschied zunehmend. Es scheint aber so, dass auch in der Verneinung mit lograr + infinitivo konstruiert wird, wenn ein geplantes Vorhaben scheitert. Acertar + a + infinitivo vielleicht eher, wenn eine spontane, ungeplante Handlung scheitert. Erhellend ist in diesem Zusammenhang auch noch die Bemerkung von Hispanoteca

Betont acertar a + infinitivo das Gelingen der Handlung nach einer kognitiven Anstrengung, so unterstreicht alcanzar + infinitivo den zeitlichen Aspekt dabei.

Das ist wohl tendenziell richtig. Ob es sich mit dem Sprachgebrauch immer deckt, ist unsicher. Wir gehen jetzt einfach mal davon aus, dass auch der Pons Verlag einen wissenschaftlichen Apparat hat. Dieser führt als eine Bedeutung von alcanzar ein Beispiel an, dass ein (Nicht)Gelingen nach einer kognitiven Anstrengung beschreibt.

Beispiel
No alcanzo a entender por qué lo hizo.
Ich kann einfach nicht begreifen, warum er es getan hat.

aus: Pons

Wir gehen davon aus, dass der Sprachgebrauch schwankt und sich die semantischen Felder von lograr, acertar, alcanzar teilweise überschneiden.

Beispiel
Me volví, pero no acerté a distinguir nada.
Me quedé perplejo y no acerté a responderle nada.
No acerté a encontrar la respuesta.
La pena en esta foto fue que no acerté a tapar del todo el sol que se refleja en el río.
Beispiel
Tuve muchas lesiones y no logré alcanzar aquello que pretendía.
Ich war oft verletzt und erreichte deshalb nicht das, was ich erreichen wollte.
Por mucho que lo intenté, no logré escuchar el trueno.
So sehr ich mich auch anstrengte, ich konnte den Donner nicht hören.
Mal poeta será el que no logre sorprender en cada verso.
Das wäre ein schlechter Dichter, der nicht mit jedem Vers überraschen könnte.
No logré hacerla funcionar.
Ich schaffte es nicht, sie in Gang zu setzen.